一阶逻辑中的推理

一阶逻辑中的推理用于从现有句子中推导出新的事实或句子。在了解 FOL 推理规则之前,让我们先了解一下 FOL 中使用的一些基本术语。

代换:

替换是对项和公式执行的基本操作。它以一阶逻辑出现在所有推理系统中。在 FOL 中存在量词时,替换是复杂的。如果我们写F[a/x],那么它是指用常量“ a ”代替变量“ x ”。

注意:一阶逻辑能够表达有关宇宙中某些或所有对象的事实。

平等:

一阶逻辑不仅使用谓词和术语来构成原子句子,而且还使用另一种方式,即 FOL 中的相等。为此,我们可以使用相等符号来指定这两个术语指的是同一个对象。

示例:兄弟(约翰)= 史密斯。

如上例所示,Brother (John)引用的对象与Smith引用的对象相似相等符号也可以与否定一起使用,以表示两个术语不是相同的对象。

示例:¬(x=y) 相当于 x ≠y。

量词的 FOL 推理规则:

作为命题逻辑,我们在一阶逻辑中也有推理规则,因此以下是 FOL 中的一些基本推理规则:

  • 普遍概括

  • 通用实例化

  • 存在实例化

  • 存在介绍

1. 通用概括:

  • 普遍概括是一个有效的推理规则,它指出如果前提 P(c) 对讨论领域中的任意元素 c 为真,那么我们可以得到一个结论为 ∀ x P(x)。

  • 可以表示为:一阶逻辑中的推理

  • 如果我们想显示每个元素都具有相似的属性,则可以使用此规则。

  • 在此规则中,x 不得作为自由变量出现。

示例:让我们表示,P(c):“一个字节包含 8 位”,因此对于∀ x P(x) “所有字节都包含 8 位。”,它也将成立。

2. 通用实例化:

  • 通用实例化也称为通用消除或 UI 是有效的推理规则。它可以多次应用以添加新句子。

  • 新的 KB 在逻辑上等同于以前的 KB。

  • 根据用户界面,我们可以推断出通过用基本项替换变量 获得的任何句子

  • UI 规则规定,我们可以通过将∀ x P(x) 中的基本项 c(域 x 内的常数)替换为话语领域中的任何对象来推断任何句子 P(c) 

  • 可以表示为:一阶逻辑中的推理

例子:1。

如果“每个人都喜欢冰淇淋”=> ∀x P(x) 所以我们可以推断
“约翰喜欢冰淇淋”=> P(c)

例子:2。

举个著名的例子,

“所有贪婪的国王都是邪恶的。” 因此,让我们的知识库以 FOL 的形式包含此详细信息:

∀x 国王(x) ∧ 贪婪(x) → 邪恶(x),

因此,根据这些信息,我们可以使用 Universal Instantiation 推断出以下任何语句:

  • 国王(约翰)∧贪婪(约翰)→邪恶(约翰),

  • 国王(Richard)∧贪婪(Richard)→邪恶(Richard),

  • 国王(父亲(约翰))∧贪婪(父亲(约翰))→邪恶(父亲(约翰)),

3. 存在实例化:

  • 存在实例化也称为存在消除,它是一阶逻辑中的有效推理规则。

  • 它只能应用一次来替换存在句。

  • 新知识库在逻辑上并不等同于旧知识库,但如果旧知识库是可满足的,它将是可满足的。

  • 该规则指出,对于新的常数符号 c,可以从以 ∃x P(x) 形式给出的公式中推断出 P(c)。

  • 此规则的限制是规则中使用的 c 必须是 P(c ) 为真的新项。

  • 它可以表示为:一阶逻辑中的推理

例子:

从给定的句子:∃x Crown(x) ∧ OnHead(x, John),

所以我们可以推断:Crown(K) ∧ OnHead( K, John),只要 K 没有出现在知识库中。

  • 上面使用的K是一个常数符号,称为Skolem常数

  • Existential 实例化是Skolemization 过程的一个特例

4. 存在介绍

  • 存在性介绍也称为存在性泛化,它是一阶逻辑中的有效推理规则。

  • 这条规则指出,如果话语宇宙中存在某个元素 c 具有属性 P,那么我们可以推断宇宙中存在具有属性 P 的元素。

  • 它可以表示为: 一阶逻辑中的推理

  • 示例:假设
    “Priyanka 的英语成绩很好”。
    “因此,有人在英语方面取得了好成绩。”

广义 Modus Ponens 规则:

对于 FOL 中的推理过程,我们有一个单一的推理规则,称为 Generalized Modus Ponens。它是 Modus ponens 的提升版本。

Generalized Modus Ponens 可以概括为:“P 暗示 Q,P 被断言为真,因此 Q 必须为真。”

根据 Modus Ponens,对于原子句子pi, pi', q存在替换 θ 使得 SUBST (θ, pi',) = SUBST(θ, pi),它可以表示为:

一阶逻辑中的推理

例子:

我们将使用这个规则来判断国王是邪恶的,所以我们会找到一些 x 使得 x 是国王,而 x 是贪婪的,所以我们可以推断出 x 是邪恶的。

例子 (Example)

Here let say, p1' is king(John)        p1 is king(x)  
p2' is Greedy(y)                       p2 is Greedy(x)  
θ is {x/John, y/John}                  q is evil(x)  
SUBST(θ,q).

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