人工智能中的一阶逻辑

在命题逻辑的主题中，我们已经看到了如何使用命题逻辑来表示语句。但不幸的是，在命题逻辑中，我们只能表示事实，或真或假。PL 不足以表示复杂的句子或自然语言语句。命题逻辑的表达能力非常有限。考虑以下句子，我们无法使用 PL 逻辑来表示。

• “有些人很聪明”，或者

• “萨钦喜欢板球。”

要表示上面的语句，PL逻辑是不够的，所以我们需要一些更强大的逻辑，比如一阶逻辑。

一阶逻辑：

• 一阶逻辑是人工智能中知识表示的另一种方式。它是命题逻辑的扩展。

• FOL 的表达能力足以以简洁的方式表示自然语言语句。

• 一阶逻辑也称为谓词逻辑或一阶谓词逻辑。一阶逻辑是一种强大的语言，它以更简单的方式开发有关对象的信息，还可以表达这些对象之间的关系。

• 一阶逻辑（如自然语言）不仅像命题逻辑那样假设世界包含事实，而且还假设世界上有以下事物：

• 对象： A，B，人物，数字，颜色，战争，理论，方块，坑，wumpus，......

• 关系： 它可以是一元关系，例如：红色、圆形、相邻，或 n-任何关系，例如：的姐妹、兄弟、有颜色、介于

• 功能：父亲，最好的朋友，第三局，结束，......

• 作为一种自然语言，一阶逻辑也有两个主要部分：

1. 句法

2. 语义

一阶逻辑的语法：

FOL 的语法决定了哪个符号集合是一阶逻辑中的逻辑表达式。一阶逻辑的基本句法元素是符号。我们在 FOL 中以速记符号编写语句。

一阶逻辑的基本要素：

以下是 FOL 语法的基本元素：

原子语句：

• 原子语句是一阶逻辑中最基本的语句。这些句子由一个谓词符号后跟一个带有一系列术语的括号组成。

• 我们可以将原子句子表示为Predicate (term1, term2, ......, term n)。

示例：Ravi 和 Ajay 是兄弟：=> Brothers(Ravi, Ajay)。
                Chinky 是一只猫：=> cat (Chinky)。

复杂的句子：

• 复杂句子是通过使用连接词组合原子句子而制成的。

一阶逻辑语句可以分为两部分：

• 主题：主题是语句的主要部分。

• 谓词：谓词可以定义为一种关系，它将两个原子在一个语句中绑定在一起。

考虑以下语句：“x 是一个整数。” ，它由两部分组成，第一部分 x 是陈述的主语，第二部分“是一个整数”，被称为谓词。

一阶逻辑中的量词：

• 量词是产生量化的语言元素，量化规定了语篇中的样本数量。

• 这些符号允许确定或标识逻辑表达式中变量的范围和作用域。有两种类型的量词：

1. 通用量词，（对于所有人，所有人，一切）

2. 存在量词，（对某些人来说，至少是一个）。

通用量词：

全称量词是逻辑表示的符号，它指定其范围内的陈述对于特定事物的一切或每个实例都为真。

全称量词由符号 ∀ 表示，类似于倒置的 A。

注意：在全称量词中，我们使用蕴涵“→”。

如果 x 是一个变量，那么 ∀x 读作：

• 对于所有 x

• 对于每个 x

• 对于每个 x。

例子：

所有的人都喝咖啡。

让一个变量 x 指的是一只猫，所以所有 x 都可以用 UOD 表示，如下所示：

∀x 人（x）→ 喝（x，咖啡）。

将读作： 有所有 x，其中 x 是喝咖啡的人。

存在量词：

存在量词是量词的一种，它表示在其范围内的陈述对于某事物的至少一个实例是正确的。

它由逻辑运算符 ∃ 表示，类似于倒置的 E。当它与谓词变量一起使用时，它被称为存在量词。

注意：在存在量词中，我们总是使用 AND 或连接符号 (∧)。

如果 x 是变量，则存在量词将是 ∃x 或 ∃(x)。它将被读作：

• 存在一个“x”。

• 对于一些“x”。

• 至少有一个“x”。

例子：

有些男孩子很聪明。

∃x：男孩(x) ∧ 聪明(x)

它将被读作：有一些 x，其中 x 是一个聪明的男孩。

要记住的要点：

• 全称量词∀的主要连接词是蕴涵→。

• 存在量词∃的主要连接词是 和∧。

量词的属性：

• 在全称量词中，∀x∀y 类似于 ∀y∀x。

• 在存在量词中，∃x∃y类似于∃y∃x。

• ∃x∀y 与 ∀y∃x 不相似。

使用量词的一些 FOL 示例：

1. 所有的鸟都会飞。
在这个问题中，谓词是“ fly(bird)”。
并且由于所有鸟类都会飞，因此将表示如下。
              ∀x 鸟（x）→飞（x）。

2. 每个人都尊重他的父母。
在这个问题中，谓词是“尊重（x，y）”，其中 x=man 和 y= parent。
由于每个人都将使用 ∀，它将表示如下：
              ∀x man(x) → 尊重 (x, parent)。

3. 一些男孩打板球。
在这个问题中，谓词是“ play(x, y) ”，其中 x= 男孩，y= 游戏。由于有一些男孩，所以我们将使用∃，它将表示为：
              ∃x boy(x) → play(x, cricket)。

4. 不是所有的学生都喜欢数学和科学。
在这个问题中，谓词是“ like(x, y)”，其中 x= student 和 y= subject。
由于不是所有的学生，所以我们将使用∀ 与否定，因此如下表示：
              ¬∀ (x) [学生 (x) → like(x, Mathematics) ∧ like(x, Science)]。

5. 只有一名学生数学不及格。
在这个问题中，谓词是“ failed(x, y)”，其中 x= student 和 y= subject。
由于只有一名学生数学不及格，所以我们将使用以下表示：
              ∃(x) [ student(x) → failed (x, Mathematics) ∧∀ (y) [¬(x==y) ∧ student(y) → ¬failed (x, Mathematics)]。

自由和绑定变量：

量词与以合适方式出现的变量相互作用。一阶逻辑中有两种类型的变量，如下所示：

自由变量：如果变量出现在量词范围之外，则称其为公式中的自由变量。

          示例：∀x ∃(y)[P (x, y, z)]，其中 z 是一个自由变量。

绑定变量：如果变量出现在量词的范围内，则称其为公式中的绑定变量。

          示例：∀x [A (x) B( y)]，这里 x 和 y 是绑定变量。