人工智能中的命题逻辑

命题逻辑 (PL) 是最简单的逻辑形式，其中所有陈述都由命题构成。命题是一个陈述性的陈述，它要么是真的，要么是假的。它是一种以逻辑和数学形式表示知识的技术。

a) It is Sunday.  
b) The Sun rises from West (False proposition)  
c) 3+3= 7(False proposition)  
d) 5 is a prime number.

以下是关于命题逻辑的一些基本事实：

• 命题逻辑也称为布尔逻辑，因为它适用于 0 和 1。

• 在命题逻辑中，我们用符号变量来表示逻辑，我们可以用任何符号来表示一个命题，比如A、B、C、P、Q、R等。

• 命题可以为真，也可以为假，但不能同时为真。

• 命题逻辑由对象、关系或功能以及逻辑连接词组成。

• 这些连接词也称为逻辑运算符。

• 命题和连接词是命题逻辑的基本要素。

• 连接词可以说是连接两个句子的逻辑运算符。

• 始终为真的命题公式称为重言式，也称为有效句子。

• 总是错误的命题公式称为矛盾。

• 有真假值的命题公式称为

• 作为问题、命令或意见的陈述不是诸如“罗希尼在哪里”、“你好吗”、“你叫什么名字”之类的命题，不是命题。

命题逻辑的语法：

命题逻辑的语法定义了知识表示的允许句子。有两种类型的提案：

1. 原子命题

2. 复合命题

• 原子命题：原子命题是简单的命题。它由单个命题符号组成。这些是必须为真或假的句子。

a) 2+2 is 4, it is an atomic proposition as it is a true fact.  
b) "The Sun is cold" is also a proposition as it is a false fact.

• 复合命题：复合命题是通过组合更简单的或原子的命题，使用括号和逻辑连接词构成的。

a) "It is raining today, and street is wet."  
b) "Ankit is a doctor, and his clinic is in Mumbai."

逻辑连接词：

逻辑连接词用于连接两个更简单的命题或逻辑地表示一个句子。我们可以借助逻辑连接词创建复合命题。主要有五个连接词，分别给出如下：

1. 否定：诸如 ¬ P 之类的句子称为 P 的否定。文字可以是正文字或负文字。

2. 连词：具有∧连接词如P ∧ Q 的句子称为连词。
   例：罗汉聪明勤奋。可以写成，
   P=罗汉很聪明，
   Q=罗汉很勤奋。→ P∧ Q。

3. 析取：具有 ∨连接词的句子，例如P ∨ Q。称为析取，其中 P 和 Q 是命题。
   示例：“Ritika 是医生或工程师”，
   这里 P= Ritika 是医生。Q= Ritika 是 Doctor，所以我们可以把它写成P ∨ Q。

4. 蕴涵：像P→Q这样的句子，被称为蕴涵。含义也称为 if-then 规则。它可以表示为
               如果下雨，那么街道是湿的。
           令 P= 下雨，Q= 街道潮湿，所以表示为 P → Q

5. 双条件：如P⇔Q这样的句子是双条件句，例如如果我在呼吸，那么我活着
               P=我在呼吸，Q=我活着，它可以表示为P⇔Q。

以下是命题逻辑连接词的汇总表：

真值表：

在命题逻辑中，我们需要知道命题在所有可能场景中的真值。我们可以将所有可能的组合与逻辑连接词组合起来，这些组合以表格形式的表示称为真值表。以下是所有逻辑连接词的真值表：

包含三个命题的真值表：

我们可以构建一个由三个命题 P、Q 和 R 组成的命题。这个真值表由 8n 个元组组成，因为我们采用了三个命题符号。

连接词的优先级：

就像算术运算符一样，命题连接符或逻辑运算符也有优先顺序。在评估命题问题时应遵循此顺序。以下是运算符的优先顺序列表：

注意：为了更好地理解，请使用括号以确保正确的解释。如¬R∨Q，可以解释为(¬R)∨Q。

逻辑等价：

逻辑等价是命题逻辑的特征之一。当且仅当真值表中的列彼此相同时，才称两个命题在逻辑上是等价的。

让我们取两个命题 A 和 B，所以为了逻辑等价，我们可以把它写成 A⇔B。在下面的真值表中，我们可以看到 ¬A∨ B 和 A→B 的列是相同的，因此 A 等价于 B

运算符的属性：

• 交换性：

• P∧ Q= Q ∧ P，or

• P ∨ Q = Q ∨ P。

• 关联性：

• (P ∧ Q) ∧ R= P ∧ (Q ∧ R),

• (P ∨ Q) ∨ R= P ∨ (Q ∨ R)

• 身份元素：

• P ∧ True = P，

• P ∨ True=True。

• 分布式：

• P∧ (Q ∨ R) = (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)。

• P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)。

• 德摩根定律：

• ¬ (P ∧ Q) = (¬P) ∨ (¬Q)

• ¬ (P ∨ Q) = (¬ P) ∧ (¬Q)。

• 双否定消除：

• ¬ (¬P) = P。

命题逻辑的局限性：

• 我们不能用命题逻辑来表示像 ALL、some 或 none 这样的关系。例子：

1. 所有的女孩都很聪明。

2. 有些苹果很甜。

• 命题逻辑的表达能力有限。

• 在命题逻辑中，我们不能根据它们的属性或逻辑关系来描述陈述。